已知a,b∈R,a≠b,求证|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)|<|a-b|

设:a=tana,b=tanb
则：|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)|
=|1/sec^2a-1/sec^2b|
=|cos^2a-cos^2b|
=|(cosa-cosb)(cosa+cosb)|
=|2sin(a+b)/2sin(b-a)/2*2cos(a+b)/2cos(a-b)/2|
=|sin(a+b)sin(b-a)|
=|sin(a+b)sin(a-b)|

|a-b|=|tana-tanb|
=|(sinacosb-cosasinb)/cosacosb|
=|sin(a-b)/cosacosb|

因为：a≠b，所以，tana≠tanb
sin(a-b)≠0
sin(a+b),cosa,cosb不能同时为1

所以，
|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)| / |a-b|
=|sin(a-b)cosacosb|
<1
所以
|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)|<|a-b|

|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)|通分后
=|1+b^2-(1+a^2)|/(1+a^2)(1+b^2)
=|b^2-a^2|/(1+a^2)(1+b^2)
=|a-b|*|a+b|/(1+a^2)(1+b^2)

所以，|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)|-|a-b|
=|a-b|*（|a+b|/(1+a^2)(1+b^2)-1）
=-|a-b|/(1+a^2)(1+b^2)*(a^2+b^2-|a+b|+2)

不妨假设a+b>=0,
上式=-|a-b|/(1+a^2)(1+b^2)*(a^2+b^2-a-b+2)
=-|a-b|/(1+a^2)(1+b^2)*[(a-0.5)^2+(b-0.5)^2+1.5]
<0
反之，若a+b><0,
上式=-|a-b|/(1+a^2)(1+b^2)*(a^2+b^2+a+b+2)
=-|a